Однокубитные операции

Как уже говорилось на вводном занятии, квантовые системы можно описывать следующим образом: \[ \ket{\Psi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}, \] где \(\alpha, \beta \in {\mathbb C}\), \(\alpha^2 + \beta^2 = 1\). В этой системе два уровня (базовых состояния)

Аналогично описываются и многоуровневые системы: \[ \ket{\Psi} = c_0 \ket{0} + c_1 \ket{1} + \ldots + c_{N-1} \ket{N-1}, \] где \(c_j \in {\mathbb C}\), \(\sum_{j=0}^{N-1} c_j^2 = 1\)

Для наглядного представления о состояниях будет полезно использовать следующую визуализацию.

Как мы знаем, состояние кубита может быть представлено в виде

\begin{equation} |\Psi\rangle = \alpha_0 |0\rangle + \alpha_1 |1\rangle, \end{equation}

где \(\alpha_k\) — комплексные числа.

Для комплексных чисел можно использовать полярное представление: \[ \alpha_k = r_k e^{i\phi_k}. \]

Вынося общий множитель \(e^{i\phi_0}\) за скобки и обозначая \(\Delta\phi = \phi_1 - \phi_0\), получаем:

\begin{equation} |\Psi\rangle = e^{i\phi_0} (r_0 |0\rangle + r_1 e^{i\Delta\phi} |1\rangle). \end{equation}

Физические законы устроены таким образом, что глобальную фазу (множитель \(e^{i\phi_0}\)) невозможно измерить, возможно измерение только разницы фаз между состояниями 0 и 1, поэтому этот множитель можно игнорировать.

Кроме того, так как \(r_0^2 + r_1^2 = 1\), эти числа можно представить как, соответственно, косинус и синус какого-то угла: \[ r_0 = \cos \frac\theta 2; r_1 = \sin \frac\theta 2. \]

В итоге получаем следующее представление, которое зависит только от двух углов: \(\theta\) и \(\Delta\phi\):

\begin{equation} |\Psi\rangle = \cos \frac\theta 2 |0\rangle + e^{i\Delta\phi} \sin \frac\theta 2 |1\rangle. \end{equation}

Эти два угла задают точку на сфере. Эта сфера называется сферой Блоха:

Что, если рассмотреть повороты на другие углы? Это можно сделать не только из общего интереса, но и из технологических соображений.

Часто для реализации какого-либо оператора, того же \(X\), физики используют какое-то континуальное управление, например, импульсы определённой длительности или магнитное поле необходимой силы. Если эти импульсы будут другой длительности, то вместо поворота на 180 градусов будет реализован поворот на какой-то другой угол, часто — зависящий от длительности. Таким образом, вместо одного оператора становится возможным реализовать сразу бесконечно много (с определённой точностью, конечно же).

Возвращаясь к математическим концепциям, повороты на произвольный угол \(\theta\) вокруг соответствующих осей можно задать как \[ R_x(\theta) = e^{-i\theta X/2}; \] \[ R_y(\theta) = e^{-i\theta Y/2}; \] \[ R_z(\theta) = e^{-i\theta Z/2}. \]

Разумеется, здесь возведение в экспоненту не поэлементное, а как матричная функция, т.е.: \[ e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \ldots \]

Таким образом, получаем следующие матрицы для поворотов (проверьте, что эти матрицы унитарны!): \[ R_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \frac\theta 2 & -i \sin \frac\theta 2\\ i \sin \frac\theta 2 & \cos \frac\theta 2\\ \end{pmatrix} \] \[ R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \frac\theta 2 & -\sin \frac\theta 2\\ \sin \frac\theta 2 & \cos \frac\theta 2\\ \end{pmatrix} \] \[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i \theta / 2} & 0 \\ 0 & e^{i \theta / 2} \\ \end{pmatrix} \]

Ещё один важный оператор — оператор Адамара. Он «смешивает» состояние 0 и состояние 1. В итоге, далее мы получаем возможность одновременно вычислять преобразования для 0 и для 1 — т.н. «квантовый параллелизм».

Матрица оператора Адамара (Hadamard) \(H\) выглядит так: \[ H = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \]

Посмотрим, что получается при двукратном применении оператора Адамара к состоянию 0:

\begin{equation*} |0\rangle \stackrel{H}{\mapsto} \frac{1}{\sqrt 2} (|0\rangle + |1\rangle) \stackrel{H}{\mapsto} \end{equation*} \begin{equation*} \stackrel{H}{\mapsto} \frac{1}{\sqrt 2} \Big( \frac{1}{\sqrt 2} (|0\rangle + |1\rangle) + \frac{1}{\sqrt 2} (|0\rangle - |1\rangle) \Big) = \end{equation*} \begin{equation*} = \frac{1}{2} \Big( |0\rangle + |1\rangle + |0\rangle - |1\rangle \Big) = |0\rangle. \end{equation*}

Таким образом, после двукратного применения оператора Адамара получаем исходное состояние.

Рассмотрев таким же образом состояние 1, можно получить, что \(H^2 = I\).

Ещё один важный с теоретической точки зрения вид операторов — оператор изменения фазы.

Если вы помните, любое однокубитное состояние мы представляли в следующем виде:

\begin{equation*} |\Psi\rangle = \cos \frac\theta 2 |0\rangle + e^{i\phi} \sin \frac\theta 2 |1\rangle. \end{equation*}

Было бы полезно иметь возможность изменить угол \(\phi\) — фазу состояния. Для этого и предназначен оператор. В теории достаточно операторов \(S\) и \(T\), которые меняют фазу на \(\pi/4\) и \(\pi/8\): \[ S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \\ \end{pmatrix} \] \[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \pi / 4} \\ \end{pmatrix} \]

Измерения не являются унитарными преобразованиями и нарушают состояние квантовой системы.

Простейшим примером является измерение в базисе:

• состояние \[ \ket{\psi} = c_0 \ket{v_0} + c_1 \ket{v_1} + \ldots + c_{N-1} \ket{v_{N-1}}, \]
• результат измерения \({\mathcal M}\): \[ \Pr \Big[ {\mathcal M}\ket{\psi} = j \Big] = \big| \langle v_j | \psi \rangle \big|^2. \]
• после измерения переходит в состояние \(\ket{v_j}\)

Рассмотрим сумму вероятностей всех исходов: \[ \sum_{j=0}^{N-1} \big| \langle v_j | \psi \rangle \big|^2 = \sum_{j=0}^{N-1} \langle \psi | v_j \rangle \langle v_j | \psi \rangle = \langle \psi | \bigg( \sum_{j=0}^{N-1} | v_j \rangle \langle v_j | \bigg) | \psi \rangle = 1 \] Операторы \(| v \rangle \langle v |\) будут называться проекторами.

Более сложной версией можно считать измерение в произвольном базисе. Пусть даны произвольные операторы \({\mathcal M} = \{ \Pi_j \}\) с условиями:

• \(\Pi_j \Pi_k = 0\), если \(j \neq k\)
• ∑_j Π_j = I

Тогда результат измерения: \[ \Pr \Big[ {\mathcal M} \ket{\psi} = j \Big] = \langle \psi | \Pi_j | \psi \rangle. \] и после измерения состояние переходит в состояние: \[ \ket{\psi'} = \frac{\Pi_j \ket{\psi}}{\langle \psi | \Pi_j | \psi \rangle^{1/2}} \]

Другой способ описания измерений — наблюдамые. Пусть задана эрмитова матрица \(M\) — самосопряжённая матрица: \(M^T = \bar{M}\). Её можно привести к диагональному виду: \(M = U^\dagger D U\), \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)\).

Тогда с результатом измерения \(j\) будет связано собственное подпространство со значением \(\lambda_j\).